Відповіді на завдання олімпіади 4кл-11кл

Відповіді на завдання олімпіади  4кл-11кл

4 клас

1. Зліва та справа від знака нерівності стоїть число 32, тому для виконання нерівності справа повинно стояти число , більше ніж 56, тобто 57.

2. За 6 днів Сонько з’їдає 6•5 = 30кг, трави. Отже , Хвальку потрібно 30 :3 = 10 днів для того, щоб з’їсти таку ж саму масу трави, яку з’їв Сонько за 6 днів.

3. Число Е +Е +Е закінчується на 3, тому Е =1. Сума трьох трицифрових чисел, які починаються з однакових цифр, є більшою, ніж 2000, але меншою за 2100, тому А = 6, отже В + С+ Д = 21, а

 А + В + С + Д + Е= 6 + 21 +1 = 28.

4.За одну годину Веселун ліпив 8 – 2 = 6 куль. Тому за одну годину разом вони виліплювали 8 + 6 = 14 куль, а за три години вони виліпили 3 • 14 = 42 кулі.

5. Кількість пиріжків з капустою та м’ясом разом повинна ділитись на 3, тому вона може дорівнювати  3,6,9 або 12. Оскільки пиріжків з капустою є найбільше, а з м’ясом найменше, то можливий лише випадок , коли пиріжків з капустою та м’ясом разом 9, а пиріжків з грибами 14 – 9 = 5.

5клас

1.За два дні 10 качок знесуть 5 • 2 + 5 = 15 яєць. ( 5 знесуть по одному кожного дня, а 5 по одному в один з двох днів). Отже за 10 днів качки знесуть 15•5 = 75 яєць.

2.139 – це єдине таке число, оскільки у такому числі остання цифра в 9 разів більша за першу.

3. Оскільки 10•11 = 121, 11• 12 = 132 > 129, то число, що задумав Мудрагелик, дорівнює 121 : 11 + 28 = 39.

4. 9912345

5. Нехай у Андрійка було х цукерок, тоді загальна кількість цукерок у дітей дорівнює  х + (х – 27) + (х – 18) = 3 х – 45. Якщо їх поділити порівну між дітьми, то Андрійко отримає (3 х – 45) : 3 = х – 15 цукерок, тобто на 15 менше , ніж він мав спочатку.

6 клас

1.У різниці двох натуральних чисел зменшуване не є меншим за різницю, тому число 7 отримати неможливо, оскільки воно є найбільшим серед чисел, запропонованих у відповідях.

2. 16 см²

3.10¹⁰ – 2013= 9999997987, тому сума цифр цього числа дорівнює

9 • 6 + 7 + 9 + 8 + 7 = 85.

4. У перших восьми будинках проживає не більше 4• 6 = 24, а в дев’ятому будинку проживає не більше, ніж 6 – 1 = 5 осіб. Тому загалом на вулиці мешкає не більше  24 + 5 = 29 осіб.

5. Нехай х – це довжина шляху, який пароплав проплив від моменту, коли літак вилетів, до моменту, коли літак опинився над пароплавом. Тоді 10 х – це довжина шляху, який пролетів літак до моменту, коли літак опинився над пароплавом. Тому х + 180 = 10 х, звідки х = 20км. Отже, літак опинився над пароплавом на відстані 180 + 20 = 200км.

7клас

1.    За ознакою подільності на 4, число 2014 не ділиться на 4. Тому число  не є цілим.

2.Якщо х кількість гілок на яких є квітка, то на (10 – х) гілках немає квітки. Тоді на кущі може бути

                  5•х +2(10 – х) = 5 х + 20 - 2 х = 20 + 3 х.

Тому кількість листочків на кущі повинна бути більшою за 20 і давати остачу 2 при діленні на 3. Отже кількість листочків на кущі може дорівнювати 38.

3. Якщо додати число, що отримав Андрійко,до числа, що отримав Олесь, то отримаємо потроєну суму довжини і ширину прямокутника. Тому периметр прямокутника дорівнює

                     (44 + 40)•⅔ = 56.

4.Суму 15 можна отримати, витерши з таблиці числа 1,5,9. Доведемо, що більшу суму отримати не можна. Оскільки максимальне число в першому рядку зверху 3, в другому 6, а в третьому 9. То сума викреслених чисел дорівнює 3 + 6 +9 = 18. Проте 18 не досягається, бо 3,6,9 належать одному стовпчику. Отже, правильна відповідь: 15.

5. Оскільки число п має два дільники, то воно є простим. Число

 п + 1 має три дільники, отже воно є квадратом простого числа.

Позначимо п + 1 = р². Тоді п = р² – 1 =(р – 1)( р + 1). Оскільки п –просте, то р – 1 = 1, р = 2. Тоді п = 3 і число п + 2 =5 має тільки два натуральних дільники.

8 клас

1. 9см.

2. с > е з рівності с : е = d , е > d з рівності е – d = а, d  > а та d  > в з рівності а + в = d. Тому число с найбільше.

3.8⁸ = (2³)⁸ = 2²⁴ = (2²)¹² = 4¹² =(4⁴)³.

4. Зауважимо, що сума цифр кожного числа, яке задовольняє умову задачі, дорівнює 4, причому у його записі є, принаймні, один нуль і нема цифри 3, бо тоді у записі числа буде не менше трьох не нульових цифр, і їх сума буде більшою за чотири. Тоді кожне шукане число повинно мати дві однакові цифри. Зазначеним вимогам задовольняють числа 1012, 1102, 1201, 1210, 2002, 2020, 2200.Перевіркою встановлено, що умову задачі задовольняють  числа 1210, 2020.

5.Нехай у групі було х лицарів, у брехунів і ż хитрунів, що на перше питання відповіли неправду, а на друге правду. За умовою задачі

{17= х + у + ż,

12 = у + ż,               звідси    х = 17 – 12 = 5.

9 клас

1.Остання цифра числа дорівнює 6.

2.Довжина діагоналі квадрата АС = . Тому довжина сторони квадрата дорівнює . Площа 20см².

3.2015 = 5•13•31. Тому вік батька  5•13 =65 років, а вік сина 31 рік. Різниця у їхньому віці дорівнює  65 – 31 = 34 роки.

4. Якщо а і с довжини прилеглих катетів і гіпотенузи, то =

(за властивістю бісектриси) і х² + (1 + 2)² = у² (за т. Піфагора). Отже у = 2х і 4х² = х² + 9, х =  і у = 2. Тому довжина бісектриси дорівнює 2см.

5.Перша особа зліва в шерензі брехун, тоді перша особа справа в шерензі лицар (бо зліва є принаймні один брехун); друга особа зліва в шерензі брехун (бо справа є принаймні один лицар); тоді перша особа справа в шерензі лицар (бо зліва є принаймні 2 брехуни); і т.д. Отже в шерензі стоять спочатку 1007 брехунів, а потім 1007 лицарів.

10 клас

1.6 = 2 • 3 і число 13 не ділиться ні на 2, ні на 3.      5¹² = (5⁶)²,             4¹¹ =(2²)¹¹ =  (2¹¹)²,  3¹⁰ = (3⁵)²,   2⁹ = (2³)³.

2. Для п = 37 числа п – 2 = 35 і п +2 = 39 не є простими.

3. Будь-яке число можна однозначно представити у вигляді суми степенів числа 2.

    100 = 64 +32 + 4 = 2⁶ +2⁵ + 2²

Отже внучці 4 роки і вона народилася у 2014 – 4 = 2010 році.

4. Нехай х – це довжина крокодила, тоді довжина хвоста крокодила . Голова крокодила дорівнює

Отже, х = 558см.

5. Нехай а, в, с, d числа записані у чотири порожні клітинки таблиці. Тоді а + в + 2 = 10 і с + d + 2 + 4 = 10. Звідси а + в +с + d = 12.

11 клас

1. =  = 1

2. а^-3в = (а^в)^-3 = 8.

3. 5lg(2²²²) + 2lg(5⁵⁵⁵⁾ = 1110lg2 + 1110lg5 = 1110lg10 = 1110.

4.Нехай у ящику є п жовтих кульок, тоді ймовірність того, що серед навмання вибраних 3 кульок немає жодної сірої дорівнює

   , тоді  6•7•8 = (п – 2)(п – 1)п , тобто  п = 8.

5. Якщо а, в, с, d, е – числа записані в порожніх клітинках таблиці, то а + в + 1 +2 = 10, а +с + 2 + 3= 10, а + d + 3 +4 = 10, а + е + 4 + 1 = 10. Тому в = 7 – а, с = 5 – а, d = 3 – а, е = 5 – а або а + в + с + d + е = 20 – 3а. Отже , сума решти п’яти чисел повинна давати остачу 2 при діленні на 3, тобто а + в + с + d + е = 14.